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수학적 모델

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목차

1. 개요

수학적 모델은 동적 시스템, 통계 모형, 미분 방정식 등 다양한 형태를 띠며, 현실 세계의 현상을 수학적으로 표현한 것이다. 지배 방정식, 보조 모델, 가정 및 제약 조건 등으로 구성되며, 자연과학, 사회과학, 공학, 의학 등 다양한 분야에서 활용된다. 모델의 종류는 선형/비선형, 정적/동적, 명시적/암묵적, 결정론적/확률적 등으로 분류되며, 훈련, 튜닝, 적합 과정을 통해 모델의 정확성을 높인다. 모델은 경험적 데이터 예측, 범위 평가, 철학적 고려를 거쳐 평가되며, 한국을 포함한 여러 국가에서 경제, 사회, 보건 등 다양한 분야의 문제 해결과 의사 결정에 활용된다.

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수학적 모델
개요
유형추상 모델
연구 분야과학
공학
경제학
기타 학문 분야
기본 정보
정의특정 현상의 수학적 표현
목적현상에 대한 이해, 예측, 분석
특징추상화
이상화
단순화
모델 구축
단계



고려 사항모델의 정확성
모델의 복잡성
계산 비용
데이터 가용성
유형
분류 기준선형성
확률성
시간 의존성
공간 의존성
예시선형 모델
비선형 모델
확률 모델
결정론적 모델
정적 모델
동적 모델
이산 모델
연속 모델
응용 분야
과학물리학
화학
생물학
기상학
천문학
공학전기 공학
기계 공학
토목 공학
화학 공학
경제학금융
거시 경제
미시 경제
기타사회 과학
의학
컴퓨터 과학
경영학
장점 및 한계
장점현상에 대한 이해 증진
예측 및 시뮬레이션 가능
의사 결정 지원
효율적인 시스템 설계
한계모델의 단순화로 인한 부정확성
데이터 의존성
모델의 복잡성으로 인한 어려움
가정의 한계
관련 개념
관련 개념모형
시뮬레이션
알고리즘
데이터 분석
최적화

2. 수학적 모델의 기본 구성 요소

수학적 모델은 일반적으로 변수와 관계로 구성된다. 관계는 연산자를 통해 나타낼 수 있으며, 변수는 시스템 매개변수를 추상화하여 양으로 표현된다.

수학적 모델은 그 구조에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.


  • 선형 및 비선형 모델: 모델의 모든 요소가 선형성을 가지면 선형 모델, 그렇지 않으면 비선형 모델이라고 한다.
  • 명시적 및 암묵적 모델
  • 불연속적 및 연속적 모델
  • 결정적 모델 및 확률 과정 모델
  • 연역적, 귀납적 및 유동적 모델


이러한 모델들은 동적 시스템, 통계 모형, 미분 방정식, 게임 이론적 모델 등 다양한 형태를 가질 수 있으며, 서로 중첩되거나 다양한 추상적 구조를 포함할 수 있다. 또한, 수학적 모델은 논리적 모델을 포함할 수도 있다.

과학 분야에서 수학적 모델의 유용성은 이론적 모델이 실험 결과와 얼마나 잘 일치하는지에 따라 결정되는 경우가 많다. 이론과 실험 간의 불일치는 더 나은 이론 개발로 이어지기도 한다.

물리학에서 전통적인 수학적 모델은 다음 요소들을 포함한다.

모델은 현실 세계의 시스템을 간략화한 것이므로, 현실 시스템 자체를 분석하는 것보다 모델을 통해 분석하는 것이 훨씬 쉽다. 모델이 현실 시스템의 중요한 성질을 잘 반영하고 있다면, 모델을 통해 시스템을 이해하거나 행동을 예측할 수 있다. 예를 들어, 지도를 통해 길을 알 수 있고, 지구본을 통해 지구의 형태를 알 수 있다.

하지만 모델은 대상 그 자체가 아니며, 간략화 과정에서 필연적으로 대상의 많은 성질을 잃게 된다. 모델이 어떤 현상을 포함하지 않는 것을 "사상(捨象)"이라고 한다.

2. 1. 변수 (Variables)

수학적 모델에서 변수는 시스템의 특징이나 상태를 나타내는 값으로, 여러 종류로 나뉜다.[1]

  • 독립 변수: 다른 변수에 영향을 받지 않고 독립적으로 변하는 값으로, 의사 결정 변수라고도 한다.[1]
  • 종속 변수: 독립 변수나 다른 변수의 영향을 받아 값이 변하는 변수로, 시스템의 상태를 나타내는 상태 변수가 여기에 해당한다.[1]
  • 매개 변수: 시스템의 특성을 나타내는 값으로, 상수 또는 외생 변수라고도 한다. 외부에서 주어지는 값이지만, 모델 내에서 변하지 않는다.[1]
  • 확률 변수: 확률에 따라 값이 변하는 변수이다.[1]


변수들은 서로 독립적이지 않고 상호 의존하며, 시스템 작동 방식을 설명하는 데 쓰인다.[1] 경제학에서 투입-산출 모델은 여러 변수 간의 관계를 선형대수로 분석한다.[1] 복잡한 모델에서는 여러 변수를 벡터로 표현하여 간소화하기도 한다.[1]

2. 2. 관계 (Relationships)

관계는 연산자에 의해 기술되며, 변수 간의 상호 작용을 나타낸다. 예를 들어, "A군이 걸을수록 앞으로 나아간다. 보폭이 넓을수록 앞으로 나아간다."라는 현상은 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.[16]

: (거리) = (보폭) × (걸음 수)

이 수식에서 곱셈은 관계를 나타내는 연산자이다. 이처럼 현실의 대상을 수학 안으로 사상하는 과정을 "모델링"이라고 한다.

용수철은 자연 길이로부터의 늘어짐이 작은 범위 내에서는 늘어난 길이와 되돌아가려는 힘이 비례한다(후크의 법칙).[16]

: 힘 = (비례 상수) × (늘어짐)

: (F = -kx)

이러한 관계는 함수를 통해 표현될 수 있다.

2. 3. 방정식 (Equations)

수학적 모델은 보통 관계와 변수로 이루어지며, 연산자를 통해 관계를 나타낸다. 변수는 시스템 매개변수를 추상화하여 양을 나타낸다. 수학적 모델은 그 구조에 따라 선형/비선형, 명시적/암묵적, 불연속적/연속적, 결정적/확률 과정, 연역적/귀납적/유동적 등으로 분류될 수 있다.

물리학에서 전통적인 수학적 모델은 다음 요소들을 포함한다.

예를 들어, "A군이 걸을수록 앞으로 나아간다. 보폭이 넓을수록 앞으로 나아간다."는 현상은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

: (거리) = (보폭) × (걸음 수)

이는 곱셈이라는 수학적 개념으로 현실을 "모델링"한 것이다. 이 모델에서는 A군의 말, 표정, 방향 등은 추상화되지만, 수량적인 측면에서 A군의 이동 거리를 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어 보폭이 50cm이고 1,000걸음을 걸었다면 500m를 이동했다는 것을 알 수 있다.

또 다른 예로, 용수철의 늘어짐과 힘의 관계는 후크의 법칙에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.[16]

: 힘 = (비례 상수) × (늘어짐)

: (F = -kx)

여기에 뉴턴의 운동 법칙을 적용하면 다음과 같은 2계 선형미분 방정식을 얻을 수 있다.[16]

: (\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x)

이 방정식의 해는 삼각 함수로 표현되며, 용수철의 운동을 수학적으로 설명한다.[16]

2. 4. 가정 및 제약 조건

수학적 모델은 적용 범위와 한계를 설정하기 위해 다음과 같은 가정 및 제약 조건을 포함한다.

  • 초기 조건 및 경계 조건: 모델이 시작되는 시점의 상태와 모델이 적용되는 공간적 범위의 조건을 정의한다.
  • 고전적 제약 조건 및 운동학 방정식: 고전적 제약 조건은 모델 내에서 물체나 시스템의 움직임을 제한하는 조건이며, 운동학 방정식은 이러한 움직임을 수학적으로 설명한다.


일반적으로 모델은 현실 세계의 시스템을 간략화한 것이기 때문에, 현실 시스템 자체를 분석하는 것보다 모델을 통해 분석하는 것이 훨씬 쉽다. 모델이 현실 시스템의 중요한 성질을 잘 반영하고 있다면, 모델을 통해 시스템을 이해하거나 예측할 수 있다. 예를 들어, 실제로 걸어보지 않아도 지도를 통해 길을 알 수 있고, 우주에 가지 않아도 지구본을 통해 지구의 형태를 알 수 있다.

하지만 모델은 대상 그 자체가 아니며, 간략화 과정에서 필연적으로 대상의 많은 성질을 잃게 된다. 모델이 어떤 현상을 포함하지 않는 것을 "사상(捨象)"이라고 한다.[1]

3. 수학적 모델의 분류

수학적 모델은 보통 관계와 변수로 이루어지며, 연산자를 통해 관계를 기술한다. 변수는 시스템 매개변수를 추상화한 것으로 양자화된다. 수학적 모델은 그 구조에 따라 다양하게 분류할 수 있다.[7]

분류 기준설명
선형 모델과 비선형 모델모델의 모든 요소가 선형성을 보이면 선형 모델, 그렇지 않으면 비선형 모델
정적 모델과 동적 모델시스템 상태의 시간에 따른 변화를 고려하면 동적 모델, 평형 상태의 시스템을 계산하면 정적 모델
명시적 모델과 암묵적 모델모든 입력 매개변수가 알려져 있고 출력 매개변수를 유한한 계산으로 구할 수 있으면 명시적 모델, 그렇지 않고 출력 매개변수로부터 입력을 반복 절차로 구해야 하면 암묵적 모델
이산 모델과 연속 모델객체를 이산적으로 취급하면 이산 모델, 연속적인 방식으로 나타내면 연속 모델
결정론적 모델과 확률론적 모델모델의 매개변수와 이전 상태에 의해 모든 변수 상태가 고유하게 결정되면 결정론적 모델, 무작위성이 존재하여 변수 상태를 확률 분포로 설명하면 확률론적 모델
연역적 모델, 귀납적 모델, 부동 모델이론에 기반한 논리적 구조는 연역적 모델, 경험적 발견에서 일반화된 모델은 귀납적 모델, 이론이나 관찰에 기반하지 않고 예상되는 구조를 호출하는 것은 부동 모델
전략적 모델과 비전략적 모델게임 이론에서 사용되는 전략적 모델은 양립할 수 없는 인센티브를 가진 에이전트를 모델링하며, 플레이어는 자신의 목적 함수를 최대화하는 행동을 합리적으로 선택한다고 가정



일단 추출된 수학적 모델은 원래 대상이 된 현상을 넘어 훨씬 더 넓은 범위의 대상을 기술하는 경우가 많다. 예를 들어, 축전기와 코일을 연결한 전기 회로의 전압 발전을 기술하는 미분 방정식은 용수철의 진동 방정식과 완전히 동일하다.[7]

또한, 열 확산에서의 푸리에의 법칙, 전류에서의 옴의 법칙, 액체 흐름에서의 하겐-포아즈유의 법칙, 입자의 확산에서의 피크의 법칙은 모두

: J = -D\frac{du}{dx}

의 형태를 띠고 있어 수학적으로 완전히 동일하다. 이는 이러한 물리 법칙들이 모두 평형점에서 약간 벗어난 점에서의 법칙으로서, 계의 역학이 비선형이라 하더라도 평형점 근처에서는 벗어남에 대해 선형적인 응답을 기대할 수 있기 때문이다.

3. 1. 선형 모델 vs 비선형 모델

수학적 모델은 관계와 변수로 구성된다. 관계는 연산자로 표현되며, 변수는 시스템 매개변수를 추상화하여 양자화한다. 수학적 모델은 그 구조에 따라 여러 기준으로 분류할 수 있는데, 그 중 하나가 선형성 여부이다.

  • 선형 모델: 모델의 모든 연산자가 선형성을 가지는 경우를 말한다. 선형 모델은 문제를 독립적으로 처리하거나, 다른 규모에서 분석할 수 있다는 특징이 있다. 즉, 문제를 더 작은 부분으로 분해하여 분석하고, 이를 다시 결합하여도 초기 문제에 대한 유효한 결과를 얻을 수 있다.[7] 예를 들어, 통계적 선형 모델은 매개변수 간의 관계는 선형이지만, 예측 변수에서는 비선형일 수 있다. 수리 계획법 모델에서 목적 함수와 제약 조건이 모두 선형 방정식으로 표현되는 경우 선형 모델로 간주된다.

  • 비선형 모델: 모델의 연산자가 하나라도 선형성을 가지지 않는 경우를 말한다. 비선형 모델은 카오스 이론이나 비가역성과 관련된 현상을 설명하는 데 사용될 수 있다. 비선형 시스템과 모델은 선형 시스템보다 연구하기 어려운 경향이 있는데, 이는 비선형성이 복잡한 현상을 야기할 수 있기 때문이다. 비선형 문제에 대한 일반적인 접근 방식은 선형화이지만, 비가역성과 같이 비선형성과 밀접하게 관련된 측면을 연구하려는 경우에는 한계가 있다.[7]

3. 2. 정적 모델 vs 동적 모델

동적 모델은 시스템 상태의 시간에 따른 변화를 고려하는 반면, 정적(또는 정상 상태) 모델은 평형 상태의 시스템을 계산하므로 시간 불변이다. 동적 모델은 일반적으로 미분 방정식이나 차분 방정식으로 표현된다.[16]

3. 3. 명시적 모델 vs 암묵적 모델

전체 모델의 모든 입력 매개변수가 알려져 있고, 출력 매개변수를 유한한 일련의 계산으로 계산할 수 있는 경우, 해당 모델은 ''명시적''이라고 한다. 그러나 때로는 알려진 것이 ''출력'' 매개변수이며, 해당 입력을 뉴턴 방법 또는 브로이든 방법과 같은 반복 절차로 해결해야 하는 경우가 있다. 이러한 경우 모델을 ''암묵적''이라고 한다.[5]

예를 들어, 제트 엔진의 터빈 및 노즐 목 면적과 같은 물리적 특성은 특정 비행 조건 및 출력 설정에서 설계 열역학적 사이클(공기 및 연료 유량, 압력 및 온도)이 주어지면 명시적으로 계산할 수 있지만, 다른 비행 조건 및 출력 설정에서의 엔진 작동 사이클은 일정한 물리적 특성으로부터 명시적으로 계산할 수 없다.[5]

3. 4. 이산 모델 vs 연속 모델

수학적 모델은 다양한 유형으로 분류될 수 있는데, 그 중 하나는 이산 모델과 연속 모델이다.

  • 이산 모델: 분자 모델의 입자나 통계적 모델의 상태와 같이 객체를 이산적으로 취급한다.
  • 연속 모델: 객체를 연속적인 방식으로 나타낸다. 예를 들어 파이프 흐름의 유체 속도장, 고체의 온도 및 응력, 점전하로 인해 전체 모델에 연속적으로 적용되는 전기장과 같은 경우가 이에 해당한다.

3. 5. 결정론적 모델 vs 확률론적 모델

수학적 모델은 다양한 유형으로 분류될 수 있는데, 그 중 하나가 결정론적 모델과 확률론적 모델의 구분이다.

  • '''결정론적 모델''': 모델의 매개변수와 변수의 이전 상태에 의해 모든 변수 상태가 고유하게 결정된다. 따라서 결정론적 모델은 주어진 초기 조건에 대해 항상 동일한 방식으로 작동한다.[5] 상미분 방정식이나 편미분 방정식을 사용한 모델링이 결정론적 모델에 해당하며, (해의 존재와 유일성이 보장되는) 미분 방정식으로 기술하면 상태 변화는 초기값에 의해서만 결정된다.
  • '''확률론적 모델''': '통계적 모델'이라고도 불리며, 무작위성이 존재하여 변수의 상태를 고유한 값이 아닌 확률 분포로 설명한다.[5] 마르코프 과정, 확률 미분 방정식, 마스터 방정식을 사용한 기술은 확률적 과정을 포함하는 경우에 해당한다.


예를 들어, "A군이 걸을수록 앞으로 나아간다. 보폭이 넓을수록 앞으로 나아간다."는 현상을 (거리) = (보폭) × (걸음 수) 라는 수식으로 나타낸 수리 모델을 생각해보자. 이 모델에서 A군의 말, 표정(기분, 감정), 방향 등은 추상화되고, 오직 세계의 수적인 측면만이 고려된다. 이 모델을 통해 보폭이 50cm이고 1,000걸음을 걸었다면 500m를 이동했다는 것을 쉽게 계산할 수 있다.

3. 6. 연역적 모델, 귀납적 모델, 부동 모델

연역적 모델은 이론에 기반한 논리적 구조를 가진다. 귀납적 모델은 경험적 발견에서 비롯되며, 이로부터 일반화된다. 부동 모델은 이론이나 관찰에 기반하지 않고, 단순히 예상되는 구조를 호출하는 것이다. 경제학 외의 사회 과학에서 수학의 적용은 근거 없는 모델에 대해 비판받아 왔으며,[5] 과학에서 재앙 이론의 적용은 부동 모델로 특징지어졌다.[6]

3. 7. 전략적 모델 vs 비전략적 모델

게임 이론에서 사용되는 전략적 모델은 서로 양립할 수 없는 인센티브를 가진 에이전트들을 모델링한다는 점에서 다른 모델과 구별된다. 전략적 모델은 플레이어가 자신의 목적 함수를 최대화하는 행동을 합리적으로 선택하는 자율적 의사 결정자라고 가정한다. 전략적 모델을 사용하는 데 있어 주요 과제는 내쉬 균형과 같은 해결 개념을 정의하고 계산하는 것이다. 전략적 모델의 흥미로운 특징은 게임 규칙에 대한 추론과 플레이어의 행동에 대한 추론을 분리한다는 것이다.[7] 반면, 비전략적 모델은 이러한 전략적 상호작용을 고려하지 않는다.

4. 수학적 모델의 구축

수학적 모델은 특정 출력을 극대화하거나 시스템의 작동 방식을 이해하기 위해 구축된다. 비즈니스와 공학 분야에서 수학적 모델은 특정 출력을 극대화하는 데 사용될 수 있다. 시스템은 입력을 필요로 하며, 입력과 출력은 의사 결정 변수, 상태 변수, 외생 변수, 확률 변수 등 다양한 변수들에 의해 영향을 받는다. 의사 결정 변수는 독립 변수, 외생 변수는 매개변수 또는 상수라고도 불린다. 변수들은 서로 독립적이지 않으며, 상태 변수는 의사 결정, 입력, 무작위 및 외생 변수에 의존한다.

물리학에서는 미시 세계의 제1원리 법칙에 따라 상호작용하는 입자가 시스템의 시간 발전을 결정한다고 본다. 그러나 자연계는 물리적 스케일이 다른 계층으로 이루어진 계층 구조를 가지며, 각 계층에서 특정한 질서가 발견된다. 예를 들어, 소립자, 원자, 분자, 고분자, 고체, 유체, 세포, 조직, 기관, 무리, 사회, 습관, 유행, 전염, 생태계, 지형, 날씨, 행성계, 은하, 은하단, 우주 등이 있다. 인간처럼 외부에 대한 인식과 해석을 하는 지적 능력을 가진 생물이 있다는 것 자체가 세계가 어느 정도 법칙성을 가지고 있다는 증거이다.[17]

따라서 특정 계층에 주목하여 보편적인 법칙을 추정하며, 수리 모델 구축에는 해당 스케일에서 시스템을 잘 기술하는 거시적인 변수 도입이 필수적이다. 변수의 수가 적을수록 현상 이해가 단순해진다는 관점에서, 열역학, 유체를 기술하는 나비에-스토크스 방정식, 물성론에서의 평균장 근사 등이 성공적인 사례로 꼽힌다.

한 단계 아래 계층의 법칙이 알려진 경우, 이를 구성 요소로 조립한 모델(예: 기체 분자 운동론, 전기 회로, 뉴럴 네트워크)이 만들어지기도 한다. 그러나 생체나 사회처럼 대상이 복잡하고 계층 간 법칙 분리가 명확하지 않거나, 하위 계층 요소를 고려할 때 변수가 폭발적으로 증가하는 경우, 적절한 변수 설정 및 모델화 가능성은 물론, 인간이 이해할 수 있을 정도로 단순하고 보편적인 현상론의 존재를 가정하는 것은 논쟁의 여지가 있다.[18]

4. 1. 목표 설정 및 제약 조건 정의

비즈니스와 공학에서 수학적 모델은 특정 출력을 극대화하는 데 사용될 수 있다. 시스템 및 해당 사용자의 목표와 제약 조건은 출력 변수 또는 상태 변수의 함수로 나타낼 수 있다. 목적 함수는 모델 사용자의 관점에 따라 달라진다. 문맥에 따라 목적 함수는 사용자가 관심을 갖는 어떤 척도이기 때문에 '성능 지수'라고도 한다.[1] 모델이 가질 수 있는 목적 함수와 제약 조건의 수에는 제한이 없지만, 수가 증가함에 따라 모델을 사용하거나 최적화하는 것이 더 복잡해진다(계산적으로).[1] 예를 들어, 경제학자들은 투입-산출 모델을 사용할 때 종종 선형대수를 적용한다.[1]

4. 2. 선험적 정보 활용

모델의 정확도를 높이기 위해 가능한 한 많은 선험적 정보를 사용하는 것이 좋다. 블랙 박스 모델은 선험적 정보가 전혀 없는 시스템을 말하며, 화이트 박스 모델은 모든 필요한 정보를 사용할 수 있는 시스템이다. 실제로 대부분의 시스템은 블랙 박스 모델과 화이트 박스 모델 사이에 위치하므로, 이 개념은 어떤 접근 방식을 취할지 결정하는 직관적인 지침으로 활용된다.[8]

일반적으로 정보를 올바르게 사용하면 모델이 올바르게 작동하기 때문에, 화이트 박스 모델이 더 쉽게 간주된다. 선험적 정보는 종종 서로 다른 변수 간의 관계를 나타내는 함수 형태로 제공된다. 예를 들어, 의약품이 인체 시스템에서 작용하는 방식을 모델링할 때, 혈액 내 약물의 양은 지수 감소 함수를 따른다는 것을 알 수 있다. 그러나 약물 감소 속도, 혈액 내 초기 약물 양 등 알려지지 않은 매개변수가 여전히 존재하며, 이러한 매개변수는 모델을 사용하기 전에 추정해야 한다. 따라서 이 예시는 완전히 화이트 박스 모델은 아니다.[8]

블랙 박스 모델에서는 변수 간 관계의 함수 형태와 수치적 매개변수를 모두 추정한다. 선험적 정보를 사용하면 시스템을 적절하게 설명할 수 있는 함수 집합을 얻을 수 있다. 선험적 정보가 없으면 가능한 한 일반적인 함수를 사용하여 모든 다른 모델을 포함하려고 시도한다. 블랙 박스 모델에 자주 사용되는 접근 방식은 들어오는 데이터에 대한 가정을 하지 않는 인공 신경망이다. 비선형 시스템 식별[8]의 일부로 개발된 NARMAX (외생 입력이 있는 비선형 자기 회귀 이동 평균 모델) 알고리즘을 사용하여 모델 용어를 선택하고, 모델 구조를 결정하며, 상관되고 비선형적인 노이즈가 있는 상태에서 알려지지 않은 매개변수를 추정할 수도 있다. NARMAX 모델은 신경망과 달리 기본 프로세스와 관련될 수 있는 모델을 생성하는 반면, 신경망은 불투명한 근사치를 생성한다.[8]

4. 3. 주관적 정보 통합

베이즈 통계학은 직관, 경험, 전문가 의견을 기반으로 하거나 수학적 형식의 편의성을 기반으로 주관적인 정보를 엄격한 분석에 통합하기 위한 이론적 틀을 제공한다. 먼저 주관적일 수 있는 사전 확률 분포를 지정한 다음, 실증적 데이터를 기반으로 이 분포를 업데이트한다.

이러한 접근 방식이 필요한 예는 다음과 같다. 실험자가 동전을 약간 구부리고 한 번 던져 앞면이 나오는지 기록한 다음, 다음 번 던졌을 때 앞면이 나올 확률을 예측하는 과제를 부여받는다. 동전을 구부린 후, 동전이 앞면이 나올 진정한 확률은 알려져 있지 않다. 따라서 실험자는 (아마도 동전의 모양을 보면서) 어떤 사전 분포를 사용할지 결정해야 한다. 이러한 주관적 정보의 통합은 확률의 정확한 추정치를 얻는 데 중요할 수 있다.

4. 4. 모델 복잡성 관리

일반적으로 모델 복잡성은 모델의 단순성과 정확성 사이의 상충 관계를 포함한다. 오컴의 면도날은 예측력이 거의 동일한 모델들 중에서 가장 단순한 것이 가장 바람직하다는 원칙이다.[9] 모델에 복잡성이 추가되면 현실성을 향상시킬 수 있지만, 모델을 이해하고 분석하기 어렵게 만들 수 있으며, 수치적 불안정성을 포함한 계산 문제를 야기할 수도 있다. 토마스 쿤은 과학이 발전함에 따라 설명이 패러다임 전환이 급격한 단순화를 제공하기 전에 더 복잡해지는 경향이 있다고 주장한다.[9]

예를 들어, 항공기 비행을 모델링할 때, 항공기의 각 기계 부품을 모델에 포함시킬 수 있다. 그러면 시스템에 대한 거의 화이트 박스 모델을 얻을 수 있지만, 계산 비용이 많이 들어 모델 사용이 어려워진다. 또한, 과도하게 복잡한 시스템은 각 개별 부품이 모델에 어느 정도의 분산을 유발하여 불확실성을 증가시킨다. 따라서 모델을 적절한 크기로 줄이기 위해 몇 가지 근사치를 사용하는 것이 일반적이다. 엔지니어는 더 강력하고 단순한 모델을 얻기 위해 종종 일부 근사치를 수용할 수 있다. 예를 들어, 뉴턴의 고전 역학은 현실 세계의 근사 모델이다. 그럼에도 불구하고 뉴턴의 모델은 입자 속도가 광속보다 훨씬 낮고, 거시적인 입자만 연구하는 한, 대부분의 일상 생활 상황에 충분하다. 더 나은 정확도가 반드시 더 나은 모델을 의미하는 것은 아니다. 통계 모델은 과적합되기 쉬운데, 이는 모델이 데이터에 너무 많이 맞춰져서 이전에 관찰되지 않은 새로운 현상에 대한 일반화 능력을 잃어버린다는 것을 의미한다. 일반적으로 대상 시스템의 본질적인 특징을 나타낼 수 있으며, 가능한 한 적은 변수를 추출한 모델이 좋은 모델로 여겨진다.

4. 5. 훈련, 튜닝, 적합

순수한 화이트 박스가 아닌 모든 모델은 설명하려는 시스템에 모델을 맞추는 데 사용할 수 있는 일부 매개변수를 포함한다. 모델링이 인공 신경망 또는 기타 기계 학습에 의해 수행되는 경우, 매개변수 최적화는 '훈련'이라고 부르고, 모델 하이퍼파라미터의 최적화는 '튜닝'이라고 부르며, 종종 교차 검증을 사용한다.[10] 명시적으로 주어진 수학 함수를 통한 보다 전통적인 모델링에서, 매개변수는 종종 곡선 적합에 의해 결정된다.

5. 모델 평가 및 검증

모델링 과정에서 중요한 부분은 주어진 수학적 모델이 현실의 시스템을 얼마나 정확하게 설명하는지 평가하는 것이다. 이 평가는 다양한 유형을 포함하므로, 답하기가 쉽지 않다.

모델의 적합성을 평가하기 위해 관찰된 데이터와 예측된 데이터 사이의 거리를 측정하는 척도를 정의하는 것이 유용하다. 통계, 의사 결정 이론, 그리고 일부 경제 모델에서는 손실 함수가 이와 비슷한 역할을 한다.

모델이 어떤 상황에 적용될 수 있는지, 즉 모델의 적용 범위를 결정하는 것은 더 복잡할 수 있다. 모델이 특정 데이터 집합을 기반으로 만들어졌다면, 해당 데이터가 어떤 시스템이나 상황을 대표하는 "전형적인" 데이터인지 판단해야 한다. 데이터 점들 사이의 시스템 속성을 모델이 잘 설명하는지 묻는 것을 보간법이라 하고, 관찰된 데이터 범위를 벗어난 사건이나 데이터 점에 대해 묻는 것을 외삽법이라 한다.

뉴턴의 고전역학은 빛의 속도에 가까운 속도로 움직이는 입자나 분자 수준의 미세한 입자들의 움직임은 설명하지 못한다. 뉴턴은 당시 기술로는 이러한 현상들을 측정할 수 없었기 때문이다. 따라서 뉴턴의 모델은 일상적인 물리 현상에는 충분하지만, 이러한 영역으로 확장하기에는 적합하지 않다.

수학적 모델의 타당성은 경험적 관찰과의 일치뿐 아니라, 원래 설명된 범위를 넘어서는 상황이나 데이터에도 적용 가능한지, 즉 외삽 가능성에 달려 있다. 어떤 이들은 모델이 이미 알려진 것 이상의 통찰력을 제공하지 못한다면 가치가 없다고 주장하기도 한다.

최적 섭식 이론의 수학적 모델은 진화와 다른 생태학의 기본 원리에서 얻을 수 있는 상식적인 결론을 넘어서는 통찰력을 제공하지 못한다는 비판을 받기도 한다.[11] 수학적 모델링은 수학적 개념과 언어를 사용하지만, 그 자체로 수학의 한 분야가 아니며, 반드시 어떠한 수학적 논리에도 부합하지 않는다.[2]

5. 1. 경험적 데이터 예측

일반적으로 모델 평가에서 가장 쉬운 부분은 모델 개발에 사용되지 않은 실험 측정값 또는 기타 경험적 데이터를 모델이 예측하는지 확인하는 것이다. 매개변수가 있는 모델에서 일반적인 접근 방식은 데이터를 훈련 데이터와 검증 데이터의 두 가지 서로 다른 하위 집합으로 나누는 것이다. 훈련 데이터는 모델 매개변수를 추정하는 데 사용된다. 정확한 모델은 모델의 매개변수를 설정하는 데 이러한 데이터가 사용되지 않았음에도 불구하고 검증 데이터와 밀접하게 일치한다. 이러한 관행은 통계에서 교차 검증이라고 한다.

관찰된 데이터와 예측된 데이터 간의 거리를 측정하는 척도를 정의하는 것은 모델 적합성을 평가하는 데 유용한 도구이다. 통계, 의사 결정 이론 및 일부 경제 모델에서 손실 함수는 유사한 역할을 한다. 매개변수의 적절성을 테스트하는 것은 매우 간단하지만, 모델의 일반적인 수학적 형태의 유효성을 테스트하는 것은 더 어려울 수 있다. 일반적으로 미분 방정식을 포함하는 모델보다 통계 모델의 적합성을 테스트하기 위해 더 많은 수학적 도구가 개발되었다. 비모수 통계의 도구는 데이터가 알려진 분포에 얼마나 잘 맞는지 평가하거나 모델의 수학적 형태에 대한 최소한의 가정만 하는 일반적인 모델을 만드는 데 사용될 수 있다.

과거의 관측 결과를 바탕으로 구축한 수학적 모델에 의한, 향후 관측 데이터의 예측 능력은 해당 수학적 모델의 평가 기준이 된다. 어떤 수학적 모델도 모델 내의 자유로운 [매개변수/파라미터]를 가진다. [매개변수/파라미터]를 추정한 후에, 미지의 데이터에 대한 예측의 정확성을 평가하면 해당 모델의 평가 기준이 된다.[1] 실험 데이터와의 정량적 일치 및 예측 능력이 있는 모델은 훌륭한 모델로 평가받는다.[2]

5. 2. 모델 범위 평가

모델이 어떤 상황에 적용 가능한지 결정하는 것은 덜 간단할 수 있다. 모델이 일련의 데이터를 기반으로 구축된 경우, 알려진 데이터가 어떤 시스템 또는 상황에 대해 "전형적인" 데이터 집합인지 결정해야 한다. 모델이 데이터 점 사이의 시스템 속성을 잘 설명하는지 여부에 대한 질문을 보간법이라고 하며, 관찰된 데이터 외부의 사건 또는 데이터 점에 대한 동일한 질문을 외삽법이라고 한다.

모델 범위의 일반적인 제한 사항의 예로, 뉴턴의 고전역학을 평가할 때, 뉴턴은 첨단 장비 없이 측정을 수행했기 때문에 빛의 속도에 가까운 속도로 이동하는 입자의 특성을 측정할 수 없었다는 점을 알 수 있다. 마찬가지로 그는 분자 및 기타 작은 입자의 움직임이 아닌 거시적 입자만 측정했다. 따라서 그의 모델이 일상적인 물리 현상에는 충분하지만, 이러한 영역으로의 외삽을 잘 수행하지 못하는 것은 놀라운 일이 아니다.

5. 3. 철학적 고려 사항

모델의 타당성은 경험적 관찰에 대한 적합성뿐만 아니라, 원래 기술된 범위를 넘어선 상황이나 데이터로 외삽할 수 있는 능력에도 달려 있다. 이를 질적 예측과 양적 예측의 차이로 생각할 수 있다.[11] 모델은 연구 중인 현상에 대한 직접적인 조사에서 이미 알려진 것을 넘어선 통찰력을 제공하지 못한다면 가치가 없다고 주장할 수도 있다.

최적 섭식 이론의 수학적 모델은 진화와 다른 생태학의 기본 원리에서 얻을 수 있는 상식적인 결론을 넘어선 통찰력을 제공하지 못한다는 비판이 제기되기도 한다.[11] 또한, 수학적 모델링은 수학적 개념과 언어를 사용하지만, 그 자체로 수학의 한 분야가 아니며, 반드시 어떠한 수학적 논리에도 부합하지 않는다.[2] 일반적으로는 어떤 과학이나 다른 기술 분야의 한 분야이며, 그에 상응하는 개념과 논증 기준을 따른다.[2]

6. 다양한 분야에서의 활용 (한국의 사례를 중심으로)

수리 모델은 엔지니어가 시스템을 분석, 제어, 최적화할 때 사용된다. 엔지니어는 시스템 작동 방식에 대한 가설로 설명적 모델을 구축하거나, 예상치 못한 사건의 영향을 추정하며, 시뮬레이션으로 다양한 제어 방식을 시도한다.

수학적 모델은 변수 집합과 변수 간 관계를 설정하는 방정식으로 시스템을 설명한다. 변수는 실수, 정수, 부울 값, 문자열 등 다양한 유형이 될 수 있다. 측정된 시스템 출력은 신호, 타이밍 데이터, 카운터, 이벤트 발생 형태로 나타난다. 실제 모델은 변수 간 관계를 설명하는 함수 집합이다.

최근 컴퓨터 발달로 복잡한 수리 모델도 시뮬레이션을 통해 해의 거동을 구할 수 있게 되었다.

6. 1. 자연과학 및 공학

물리학에서는 상황을 단순화하기 위해 이상화된 모델을 사용하는 것이 일반적이다. 질량이 없는 밧줄, 점 입자, 이상 기체 및 상자 속 입자는 물리학에서 사용되는 많은 단순화된 모델 중 하나이다. 물리 법칙은 뉴턴의 운동 법칙, 맥스웰 방정식 및 슈뢰딩거 방정식과 같은 간단한 방정식으로 표현된다.[16] 이 법칙은 실제 상황의 수학적 모델을 만드는 기초가 된다. 많은 실제 상황은 매우 복잡하므로 컴퓨터로 근사적으로 모델링되며, 기본 법칙 또는 기본 법칙에서 만든 근사 모델에서 계산 가능한 모델이 만들어진다. 예를 들어, 분자는 슈뢰딩거 방정식의 근사 해인 분자 궤도 모델로 모델링될 수 있다. 공학에서는 물리 모델이 유한 요소 분석과 같은 수학적 방법으로 만들어지는 경우가 많다.[16]

용수철은 자연 길이로부터의 늘어짐이 작은 범위 내에서는 늘어난 길이와 되돌아가려는 힘이 비례하는 것으로 알려져 있다(후크의 법칙).[16] 용수철이라는 자연 현상은 수리 모델에 대응되는데, 힘 = (비례 상수) × (늘어짐) (F = -kx)으로 표현된다. 용수철에 작은 추를 매단 상황을 뉴턴의 운동 법칙[16] (m \frac {d^2 x}{ d t^2 } = F )을 사용하여 나타내면, {d^2x \over dt^2} = -{k \over m}x이 된다. 이 수리 모델은 수학적으로는 2계 선형미분 방정식이며, 강력한 이론이 얻어지고 있는 분야이다. 수학적인 고찰에 의해 운동이 삼각 함수로 표현된다는 것을 즉시 알 수 있다.[16]

일단 추출된 수학적 모델은 원래 대상이 된 현상을 넘어 훨씬 더 넓은 범위의 대상을 기술하는 경우가 많다. 예를 들어, 축전기와 코일을 연결한 전기 회로의 전압 발전을 기술하는 미분 방정식은, 위의 용수철의 진동 방정식과 완전히 동일한 것이 된다.[16]

그 외에도, 열 확산에서의 푸리에의 법칙, 전류에서의 옴의 법칙, 액체 흐름에서의 하겐-포아즈유의 법칙, 입자의 확산에서의 피크의 법칙은 모두[16] J = -D\frac{du}{dx}의 형태를 하고 있어, 수학적으로는 완전히 동일한 것이다.

최근에는 컴퓨터의 진화로 인해, 막대한 변수를 가진 복잡한 수리 모델에 대해서도 시뮬레이션을 통해 해의 거동을 실용적인 시간 내에 구할 수 있게 되었다. 예로, IBM에 의한 대뇌피질기둥의 시뮬레이션 블루 브레인 프로젝트나, 지구 시뮬레이터에 의한 온난화 예측 등이 있다.[16]

6. 2. 사회과학

경제학에서는 투입-산출 모델, 일반 균형 이론 등을 통해 경제 현상을 분석하고 정책 효과를 예측한다. 한국의 경제 정책 수립 과정에서 수리 모델은 중요한 역할을 한다. 사회학에서는 사회 연결망 분석, 행위자 기반 모델링 등을 통해 사회 현상을 이해하고 예측한다. 정치학에서는 선거 예측 모델, 여론 조사 분석 등을 통해 정치 현상을 분석하고 예측한다. 인구학에서는 맬서스 성장 모델, 로지스틱 함수 등을 통해 인구 변화를 예측하고, 인구 정책 수립에 활용한다.[18]

6. 3. 보건 및 의료

역학 분야에서는 감염병 확산 모델을 통해 감염병의 전파 경로와 속도를 예측하고, 방역 정책을 수립하는 데 활용한다. 특히, COVID-19 팬데믹 상황에서 수리 모델을 적극적으로 활용하여 방역 정책의 효과를 높였다. 감염병의 팬데믹에 대해 교통 규제, 격리, 백신 배포 등의 다양한 전략을 어떻게 사용해야 하는지에 대한 시뮬레이션도 이루어지고 있다.[18] 약학 분야에서는 약동학 모델을 통해 약물의 체내 흡수, 분포, 대사, 배설 과정을 예측하고, 신약 개발에 활용한다. 의료 영상 처리 분야에서는 CT, MRI 등 의료 영상 데이터를 분석하고, 질병 진단 및 치료에 활용한다.

6. 4. 기타 분야

열역학, 유체를 기술하는 나비에-스토크스 방정식, 물성론에서의 평균장 근사 등은 수리 모델을 통해 단순하고 명확한 현상 이해를 가능하게 한 대표적인 예시이다.[17]

기체 분자 운동론, 전기 회로, 뉴럴 네트워크 등과 같이 한 단계 아래 계층의 법칙이 알려진 경우에는, 이를 구성 요소로 조립한 모델을 만들고, 그 하위 계층의 구조는 추상화하는 방식으로 수리 모델을 구축한다.[18]

그러나 생체나 사회와 같이 대상이 복잡하고 계층 간 법칙 분리가 명확하지 않거나, 하위 요소를 고려할 때 변수가 폭발적으로 증가하는 경우에는 적절한 변수 설정 및 모델화 가능 여부, 그리고 인간이 이해할 수 있을 정도로 단순하고 보편적인 현상론의 존재를 가정하는 것은 논쟁의 여지가 있다.[18]

참조

[1] 논문 Five ways to ensure that models serve society: a manifesto 2020-06
[2] 서적 Guide to Mathematical Modelling Industrial Press Inc. 2007
[3] 서적 A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory) Oxford University Press 2011-03-21
[4] 서적 Mathematical Linguistics (Advanced Information and Knowledge Processing) Springer
[5] 서적 Social Sciences as Sorcery St. Martin’s Press
[6] 서적 An Idiot's Fugitive Essays on Science Springer
[7] 간행물 A Strategic Learning Algorithm for State-based Games ArXiv 2018
[8] 서적 Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains Wiley 2013
[9] 웹사이트 Thomas Kuhn https://plato.stanfo[...] 2019-01-15
[10] 웹사이트 Machine Learning Lecture http://users.sussex.[...] 2019-02-06
[11] 논문 Optimal Foraging Theory: A Critical Review
[12] 웹사이트 GIS Definitions of Terminology M-P https://www.landinfo[...] 2020-01-27
[13] 서적 The Organization of Learning The MIT Press
[14] 논문 Dead reckoning (path integration) requires the hippocampal formation: Evidence from spontaneous exploration and spatial learning tasks in light (allothetic) and dark (idiothetic) tests
[15] 서적 情報 : 東京大学教養学部テキスト 東京大学出版会
[16] 서적 振動・波動 裳華房
[17] 서적 非線形な世界 東京大学出版会
[18] 문서
[19] 서적 散逸構造とカオス 岩波書店 2000
[20] 서적 協同現象の数理 — 物理，生物，化学的系における自律形成 東海大学出版会 1981
[21] 서적 自然の造形と社会の秩序 東海大学出版会 1987
[22] 서적 Mathematical Linguistics (Advanced Information and Knowledge Processing)
[23] 서적 A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)


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